Zadania z potęg i pierwiastków na egzamin ósmoklasisty
Działania na potęgach to najczęstszy typ zadania "oceń prawdziwość" w arkuszu. Wystarczy znać cztery reguły, żeby rozwiązywać je w pamięci, bez liczenia dużych liczb.
Cztery reguły, które załatwiają większość zadań
Kluczowa uwaga: te reguły działają tylko dla potęg o TEJ SAMEJ podstawie. Wyrażenia 2³ · 3³ nie da się zapisać jako 6⁶ ani 2⁹ - można za to jako 6³, bo tutaj równe są wykładniki, a nie podstawy.
W zadaniach typu "oceń prawdziwość" nigdy nie licz wartości liczbowych. Sprowadź obie strony do potęgi o tej samej podstawie i porównaj wykładniki. To różnica między dziesięcioma sekundami a trzema minutami mnożenia dużych liczb.
- Mnożenie potęg o tej samej podstawie: wykładniki dodajemy. Przykład: 5² · 5³ = 5⁵.
- Dzielenie potęg o tej samej podstawie: wykładniki odejmujemy. Przykład: 2¹⁰ : 2⁷ = 2³.
- Potęga potęgi: wykładniki mnożymy. Przykład: (2³)² = 2⁶.
- Potęga iloczynu: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ. To ta reguła stoi za rozkładaniem pierwiastków.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Spróbuj rozwiązać każde zadanie samodzielnie, zanim rozwiniesz rozwiązanie. Samo przeczytanie gotowego rozwiązania daje złudzenie, że się je rozumie.
Zadanie 1
Oceń prawdziwość zdania: wartość wyrażenia 5² · 5³ · 5⁵ jest równa (5⁵)².
- Prawda
- Fałsz
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź A: Prawda.
Lewa strona: przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki, 5² · 5³ · 5⁵ = 5^(2+3+5) = 5¹⁰.
Prawa strona: potęga potęgi, czyli wykładniki mnożymy, (5⁵)² = 5^(5·2) = 5¹⁰.
Obie strony to 5¹⁰, więc zdanie jest prawdziwe. Zwróć uwagę, że ani razu nie trzeba było policzyć, ile wynosi 5¹⁰.
Zadanie 2
Ile wynosi wartość wyrażenia (2³)² ?
- 12
- 32
- 64
- 512
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź C: 64.
(2³)² = 2^(3·2) = 2⁶ = 64.
Dystraktor A (12) to pomnożenie 3 razy 2 razy 2, czyli pomylenie potęgowania z mnożeniem. Dystraktor D (512) to 2⁹, czyli błędne DODANIE wykładników zamiast ich pomnożenia - reguła od mnożenia potęg zastosowana do potęgi potęgi.
Zadanie 3
Ile wynosi √49 + √16 ?
- √65
- 11
- 13
- 65
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 11.
√49 = 7 oraz √16 = 4, więc suma wynosi 7 + 4 = 11.
Dystraktor A (√65) to właśnie ten najczęstszy błąd: pierwiastek z sumy NIE jest sumą pierwiastków. Gdyby zadanie brzmiało √(49 + 16), odpowiedzią byłoby √65 - a to zupełnie inna liczba niż 11.
Zadanie 4
Zapisz liczbę 0,00042 w notacji wykładniczej.
- 42 · 10⁻⁵
- 4,2 · 10⁻⁴
- 4,2 · 10⁻³
- 0,42 · 10⁻³
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 4,2 · 10⁻⁴.
W notacji wykładniczej pierwszy czynnik musi być liczbą z przedziału od 1 do 10. Przesuwamy przecinek o cztery miejsca w prawo, więc wykładnik wynosi −4.
Sprawdzenie: 4,2 · 10⁻⁴ = 4,2 : 10 000 = 0,00042.
Dystraktory A i D są liczbowo poprawne, ale nie spełniają warunku notacji wykładniczej: 42 jest większe od 10, a 0,42 mniejsze od 1.
Zadanie 5
Ile wynosi 2¹⁰ : 2⁷ ?
- 2
- 8
- 16
- 2¹⁷
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 8.
Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki: 2¹⁰ : 2⁷ = 2^(10−7) = 2³ = 8.
Dystraktor D pokazuje, co się dzieje przy pomyleniu dzielenia z mnożeniem - wykładniki zostają dodane zamiast odjęte.
Zadanie 6
Zadanie otwarte (2 punkty). Uzasadnij, że liczba √50 − √8 jest równa 3√2.
Pokaż rozwiązanie
Rozwiązanie.
Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka w obu składnikach:
√50 = √(25 · 2) = 5√2
√8 = √(4 · 2) = 2√2
Teraz oba wyrazy mają ten sam czynnik √2, więc można je odjąć jak wyrazy podobne:
5√2 − 2√2 = 3√2
Jak zbierać punkty: samo poprawne rozłożenie obu pierwiastków to już istotny postęp. Zapisz oba rozkłady w osobnych linijkach, zanim zaczniesz odejmować.
Najczęstsze pytania
Czy na egzaminie są potęgi o wykładniku ujemnym?
Nie w podstawie programowej szkoły podstawowej. Pojawiają się natomiast małe liczby w notacji wykładniczej, na przykład 4,2 · 10 do potęgi minus czwartej - i taki zapis trzeba umieć odczytać.
Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka?
Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby naturalnej. Na przykład pierwiastek z 50 to pierwiastek z 25 razy 2, czyli 5 razy pierwiastek z 2.
Czy pierwiastek z sumy równa się sumie pierwiastków?
Nie i to jest najczęstszy błąd w tym dziale. Pierwiastek z 9 plus 16 to pierwiastek z 25, czyli 5, a nie 3 plus 4. Rozkładać wolno tylko iloczyn i iloraz.
Sprawdź, ile już umiesz
Pierwszy zestaw zadań rozwiążesz za darmo, bez zakładania konta i bez podawania karty.