Wzory na egzamin ósmoklasisty z matematyki
Na egzaminie ósmoklasisty nie dostaniesz karty wzorów ani tablic matematycznych. Wszystko poniżej trzeba mieć w głowie - to jedyna lista, którą naprawdę warto wykuć na pamięć.
Dlaczego nie ma karty wzorów
To różnica między egzaminem ósmoklasisty a maturą, która zaskakuje bardzo wielu uczniów. Na maturze z matematyki zdający dostaje "Wybrane wzory matematyczne" - kilkunastostronicową broszurę. Na egzaminie ósmoklasisty takiego materiału NIE ma.
Komunikat dyrektora CKE o materiałach i przyborach pomocniczych wymienia dla matematyki wyłącznie długopis lub pióro z czarnym tuszem oraz linijkę. Nic poza tym - żadnych tablic, kalkulatora ani własnych notatek.
Praktyczny wniosek jest prosty: wzory trzeba przećwiczyć w zadaniach, a nie przepisać na kartkę. Wzór używany dziesięć razy zostaje w głowie sam; wzór przeczytany dziesięć razy - nie.
Pola figur płaskich
| Figura | Wzór na pole | Oznaczenia |
|---|---|---|
| Kwadrat | P = a² | a - bok |
| Prostokąt | P = a · b | a, b - boki |
| Trójkąt | P = a · h : 2 | a - podstawa, h - wysokość |
| Równoległobok | P = a · h | a - podstawa, h - wysokość |
| Romb | P = a · h albo P = e · f : 2 | e, f - przekątne |
| Trapez | P = (a + b) : 2 · h | a, b - podstawy, h - wysokość |
| Koło | P = π · r² | r - promień |
Obwody i długości
| Figura | Wzór | Uwaga |
|---|---|---|
| Obwód prostokąta | Obw = 2 · (a + b) | |
| Obwód koła | Obw = 2 · π · r | to samo co π · d |
| Długość łuku | l = 2 · π · r · (α : 360°) | α - kąt środkowy |
| Przekątna kwadratu | d = a√2 | wynika z twierdzenia Pitagorasa |
| Wysokość trójkąta równobocznego | h = a√3 : 2 | |
| Pole trójkąta równobocznego | P = a²√3 : 4 |
Bryły
Oznaczenia: Pp to pole podstawy, Pb to pole powierzchni bocznej, H to wysokość bryły. Walec i ostrosłup pojawiają się rzadziej niż graniastosłupy, ale warto je znać - w arkuszu zdarzają się.
| Bryła | Objętość | Pole powierzchni |
|---|---|---|
| Sześcian | V = a³ | P = 6a² |
| Prostopadłościan | V = a · b · c | P = 2(ab + bc + ac) |
| Graniastosłup prosty | V = Pp · H | P = 2 · Pp + Pb |
| Ostrosłup | V = Pp · H : 3 | P = Pp + Pb |
| Walec | V = π · r² · H | P = 2πr² + 2πrH |
Twierdzenie Pitagorasa i trójki, które warto znać
Twierdzenie Pitagorasa: w trójkącie prostokątnym a² + b² = c², gdzie c to przeciwprostokątna, czyli bok leżący naprzeciw kąta prostego.
Twierdzenie odwrotne bywa równie potrzebne: jeżeli w trójkącie a² + b² = c², to trójkąt jest prostokątny. Tak sprawdza się, czy trójkąt o podanych bokach ma kąt prosty.
- Trójka 3-4-5 i jej wielokrotności: 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20.
- Trójka 5-12-13 i jej wielokrotności: 10-24-26.
- Trójka 8-15-17.
- Trójka 7-24-25.
Procenty, prędkość i pozostałe zależności
| Zagadnienie | Wzór | Przykład użycia |
|---|---|---|
| Procent z liczby | p% z a = p : 100 · a | 20% z 150 to 30 |
| Cena po obniżce o p% | c · (1 − p:100) | obniżka 35% to mnożenie przez 0,65 |
| Cena po podwyżce o p% | c · (1 + p:100) | podwyżka 15% to mnożenie przez 1,15 |
| Jakim procentem a jest b | a : b · 100% | 10 z 25 to 40% |
| Droga, prędkość, czas | s = v · t | stąd v = s : t i t = s : v |
| Średnia arytmetyczna | suma : ilość | ze średniej wyliczaj najpierw SUMĘ |
| Prawdopodobieństwo | P = sprzyjające : wszystkie | zawsze ułamek od 0 do 1 |
Działania na potęgach i pierwiastkach
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ - mnożenie potęg o tej samej podstawie, wykładniki dodajemy.
- aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ - dzielenie potęg o tej samej podstawie, wykładniki odejmujemy.
- (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ - potęga potęgi, wykładniki mnożymy.
- (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ - potęga iloczynu.
- √(a · b) = √a · √b - pierwiastek iloczynu. UWAGA: dla SUMY to NIE działa.
- √(a²) = a dla a ≥ 0 - stąd wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka.
Jednostki, na których najczęściej wykłada się zadanie
Zamiana jednostek pola i objętości to najczęstsza pułapka w całym arkuszu. Jeżeli bok rośnie sto razy (z centymetra na metr), to pole rośnie dziesięć tysięcy razy, a objętość milion razy. Przed zapisaniem odpowiedzi zawsze sprawdź, w jakiej jednostce pyta polecenie.
| Zamiana | Mnożnik |
|---|---|
| 1 m² = 10 000 cm² | pole rośnie z kwadratem skali |
| 1 m³ = 1 000 000 cm³ | objętość rośnie z sześcianem skali |
| 1 litr = 1000 ml = 1 dm³ | stąd 1 m³ = 1000 litrów |
| 1 ar = 100 m², 1 hektar = 10 000 m² | działki i pola uprawne |
| 1 km/h = 1000 m : 3600 s | do zamiany na m/s dzielimy przez 3,6 |
| 1 tona = 1000 kg, 1 kg = 100 dag = 1000 g | dekagramy wracają w zadaniach z etykietami |
Najczęstsze pytania
Czy na egzaminie ósmoklasisty jest karta wzorów?
Nie. Komunikat dyrektora CKE o materiałach i przyborach pomocniczych nie przewiduje karty wzorów ani tablic matematycznych na egzaminie ósmoklasisty. To różnica względem egzaminu maturalnego.
Czy mogę mieć własną ściągę z wzorami?
Nie. Na stoliku mogą leżeć wyłącznie arkusz egzaminacyjny oraz materiały i przybory wskazane w komunikacie dyrektora CKE. Wniesienie własnych notatek oznacza unieważnienie egzaminu z danego przedmiotu.
Których wzorów uczyć się w pierwszej kolejności?
Pól figur płaskich, twierdzenia Pitagorasa i zależności między drogą, prędkością i czasem. Te trzy grupy pojawiają się w praktycznie każdym arkuszu, często po kilka razy.
Czy trzeba znać wzory skróconego mnożenia?
Nie. Wzory skróconego mnożenia to materiał szkoły ponadpodstawowej. Na egzaminie ósmoklasisty wystarczy umieć wymnożyć sumy algebraiczne każdy składnik przez każdy.
Wzór zapamiętasz, gdy go użyjesz
Przećwicz każdy z tych wzorów na zadaniach w formacie arkusza CKE.