Zadania z równań na egzamin ósmoklasisty
Najtrudniejsza część zadania z równaniem to nie rozwiązanie równania, tylko jego ułożenie. Poniżej sposób, który działa na każdym zadaniu tekstowym, i sześć zadań do przećwiczenia.
Schemat, który działa na każdym zadaniu tekstowym
Krok pierwszy: nazwij niewiadomą i zapisz to zdaniem. Nie "x", tylko "x - liczba lat syna dzisiaj". Ten zapis wygląda na formalność, ale to on decyduje o tym, czy w połowie zadania nie zgubisz się we własnych oznaczeniach.
Krok drugi: wyraź WSZYSTKIE pozostałe wielkości przez tę jedną niewiadomą. Jeśli ojciec jest trzy razy starszy, to jego wiek to 3x, a nie druga niewiadoma. Egzamin ósmoklasisty nie wymaga układów równań, więc jeśli wychodzą Ci dwie niewiadome, prawie zawsze da się jedną wyrazić przez drugą.
Krok trzeci: znajdź w treści zdanie, które mówi o RÓWNOŚCI, i przepisz je symbolami. Zwykle zaczyna się od "razem", "łącznie", "będzie dwa razy", "jest o 8 więcej". To zdanie jest Twoim równaniem. Na koniec sprawdź wynik, wstawiając go z powrotem do treści zadania - to zajmuje pół minuty i wyłapuje większość pomyłek.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Spróbuj rozwiązać każde zadanie samodzielnie, zanim rozwiniesz rozwiązanie. Samo przeczytanie gotowego rozwiązania daje złudzenie, że się je rozumie.
Zadanie 1
Rozwiąż równanie 3x − 7 = 2x + 5.
- x = −12
- x = 2
- x = 12
- x = 6
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź C: x = 12.
Przenosimy niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą:
3x − 2x = 5 + 7
x = 12
Sprawdzenie: lewa strona 3 · 12 − 7 = 29, prawa 2 · 12 + 5 = 29. Zgadza się.
Zadanie 2
Ojciec jest trzy razy starszy od syna. Za 10 lat będzie od niego starszy tylko dwukrotnie. Ile lat ma dziś syn?
- 8 lat
- 10 lat
- 12 lat
- 15 lat
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 10 lat.
Niech x to wiek syna dzisiaj. Wtedy ojciec ma 3x lat.
Za 10 lat syn będzie miał x + 10, a ojciec 3x + 10 lat. Z warunku zadania:
3x + 10 = 2 · (x + 10)
3x + 10 = 2x + 20
x = 10
Sprawdzenie: dziś syn ma 10 lat, ojciec 30. Za 10 lat: 20 i 40, czyli dokładnie dwa razy więcej.
Najczęstszy błąd to dodanie 10 lat tylko jednej osobie. Czas płynie dla obu bohaterów zadania.
Zadanie 3
Suma dwóch liczb wynosi 30, a ich różnica 8. Jaka jest większa z tych liczb?
- 11
- 15
- 19
- 22
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź C: 19.
Niech x to większa liczba. Wtedy mniejsza to x − 8, a z warunku sumy:
x + (x − 8) = 30
2x = 38
x = 19
Mniejsza liczba to 19 − 8 = 11. Sprawdzenie: 19 + 11 = 30 i 19 − 11 = 8.
Dystraktor A (11) to poprawnie policzona, ale MNIEJSZA liczba. Zawsze wróć na koniec do pytania i sprawdź, o którą wielkość pytano.
Zadanie 4
Pięciu pracowników wykonuje pewne zadanie w 12 dni. W ile dni to samo zadanie wykona sześciu pracowników pracujących w tym samym tempie?
- 8 dni
- 10 dni
- 14 dni
- 15 dni
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 10 dni.
To proporcjonalność ODWROTNA: im więcej pracowników, tym mniej dni. Iloczyn liczby pracowników i liczby dni jest stały.
5 · 12 = 60 dniówek pracy do wykonania.
60 : 6 = 10 dni.
Uwaga na pułapkę: gdyby ustawić zwykłą proporcję 5/12 = 6/x, wyszłoby 14,4 dnia, czyli WIĘCEJ dni przy większej liczbie pracowników. Wynik sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem to sygnał, że pomyliłeś rodzaj proporcjonalności.
Zadanie 5
Rozwiąż równanie x/4 + x/6 = 5.
- x = 6
- x = 10
- x = 12
- x = 24
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź C: x = 12.
Sprowadzamy do wspólnego mianownika 12: 3x/12 + 2x/12 = 5.
5x/12 = 5
5x = 60, czyli x = 12.
Sprawdzenie: 12/4 + 12/6 = 3 + 2 = 5. Zgadza się.
Szybszy sposób: pomnóż OBIE strony równania przez 12 od razu na początku. Ułamki znikają w jednym kroku i zostaje 3x + 2x = 60.
Zadanie 6
Zadanie otwarte (3 punkty). Za trzy zeszyty i dwa długopisy zapłacono 23 zł. Zeszyt kosztuje o 2 zł więcej niż długopis. Ile kosztuje jeden zeszyt? Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: zeszyt kosztuje 5,80 zł.
Niech x to cena długopisu. Zeszyt kosztuje x + 2.
3 · (x + 2) + 2x = 23
3x + 6 + 2x = 23
5x = 17, czyli x = 3,40 zł.
Zeszyt: 3,40 + 2 = 5,80 zł.
Sprawdzenie: 3 · 5,80 + 2 · 3,40 = 17,40 + 6,80 = 23 zł.
Jak zbierać punkty: pytanie dotyczy ZESZYTU, a niewiadomą wygodniej oznaczyć jako cenę długopisu. Podkreśl sobie w treści, o co pytają, żeby na końcu nie wpisać 3,40 zamiast 5,80.
Najczęstsze pytania
Czy na egzaminie ósmoklasisty są układy równań?
Nie. Podstawa programowa dla szkoły podstawowej nie obejmuje układów równań. Każde zadanie da się rozwiązać jednym równaniem z jedną niewiadomą.
Czy trzeba zapisywać sprawdzenie?
Nie ma takiego obowiązku, ale warto. Sprawdzenie zajmuje kilkadziesiąt sekund i wyłapuje błąd rachunkowy, który inaczej kosztowałby wszystkie punkty za zadanie.
Co jeśli nie umiem ułożyć równania?
Zapisz to, co wiesz: oznaczenie niewiadomej i wyrażenia dla pozostałych wielkości. Za istotny postęp w rozwiązaniu przysługuje punkt, a te zapisy często wystarczają, żeby egzaminator go przyznał.
Sprawdź, ile już umiesz
Pierwszy zestaw zadań rozwiążesz za darmo, bez zakładania konta i bez podawania karty.