Zadania ze statystyki i prawdopodobieństwa na egzamin ósmoklasisty
Średnia, mediana, odczyt danych z diagramu i proste prawdopodobieństwo. Dział, w którym najłatwiej o punkty, o ile pamięta się o jednym: mediana wymaga UPORZĄDKOWANIA danych.
Średnia, mediana i moda - trzy różne rzeczy
Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb podzielona przez ich ilość. Mediana to wartość środkowa w zbiorze UPORZĄDKOWANYM rosnąco - i to słowo "uporządkowanym" jest najczęstszą przyczyną błędu. Moda (dominanta) to wartość, która występuje najczęściej.
Przy medianie liczy się parzystość. Gdy liczb jest nieparzyście wiele, medianą jest po prostu wartość środkowa. Gdy parzyście - medianą jest średnia dwóch środkowych wartości, i wtedy mediana może być liczbą, której w ogóle nie ma w zbiorze.
W zadaniach z prawdopodobieństwem wystarcza jeden wzór: liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. Trudność polega zwykle na poprawnym policzeniu mianownika, a nie na samym dzieleniu.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Spróbuj rozwiązać każde zadanie samodzielnie, zanim rozwiniesz rozwiązanie. Samo przeczytanie gotowego rozwiązania daje złudzenie, że się je rozumie.
Zadanie 1
Jaka jest mediana zbioru liczb: 9, 2, 11, 3, 7 ?
- 3
- 7
- 9
- 11
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 7.
Najpierw porządkujemy rosnąco: 2, 3, 7, 9, 11.
Liczb jest 5, czyli nieparzyście wiele - medianą jest trzecia, środkowa wartość: 7.
Dystraktor D (11) to wartość środkowa w zbiorze W KOLEJNOŚCI PODANEJ W ZADANIU. Właśnie po to układa się dane w takiej kolejności - żeby sprawdzić, czy pamiętasz o uporządkowaniu.
Zadanie 2
Jaka jest mediana zbioru liczb: 1, 3, 4, 8, 9, 11 ?
- 4
- 6
- 6,5
- 8
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 6.
Zbiór jest już uporządkowany, a liczb jest 6, czyli parzyście wiele. Medianą jest średnia dwóch środkowych wartości, czyli trzeciej i czwartej.
(4 + 8) : 2 = 6.
Zwróć uwagę, że liczby 6 w ogóle nie ma w zbiorze. To normalne i poprawne.
Zadanie 3
W worku jest 4 kule czerwone i 6 kul niebieskich. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej?
- 2/5
- 2/3
- 4/6
- 1/4
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź A: 2/5.
Kul jest łącznie 4 + 6 = 10, a sprzyjających zdarzeń jest 4.
P = 4/10 = 2/5.
Dystraktor C (4/6) to podzielenie liczby kul czerwonych przez liczbę niebieskich zamiast przez liczbę WSZYSTKICH kul. Mianownikiem zawsze jest liczba wszystkich możliwości.
Zadanie 4
Rzucamy raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba oczek większa od 4?
- 1/6
- 1/3
- 1/2
- 2/3
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 1/3.
Liczby oczek większe od 4 to 5 i 6, czyli 2 możliwości spośród 6.
P = 2/6 = 1/3.
Uwaga na słowo "większa". Gdyby w zadaniu było "nie mniejsza niż 4", sprzyjające byłyby także 4 oczka i odpowiedź brzmiałaby 3/6 = 1/2. Zawsze podkreśl w treści, czy granica należy do zbioru.
Zadanie 5
Średnia arytmetyczna pięciu ocen Kasi wynosi 4. Kasia dostała jeszcze jedną ocenę i jej średnia z sześciu ocen wynosi teraz 4,5. Jaką ocenę dostała?
- 5
- 6
- 7
- 4,5
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź C: 7.
Suma pięciu ocen: 5 · 4 = 20.
Suma sześciu ocen: 6 · 4,5 = 27.
Nowa ocena: 27 − 20 = 7.
To zadanie celowo daje wynik niemożliwy w polskiej skali ocen - i o to chodzi. Poprawnie wykonane obliczenie pokazuje, że taka sytuacja nie mogła się zdarzyć. Na egzaminie liczy się metoda: ze średniej wyliczamy SUMĘ i porównujemy sumy.
Zadanie 6
Zadanie otwarte (2 punkty). W tabeli zapisano liczbę godzin, które Marek przeznaczył na naukę w kolejnych pięciu dniach: 2, 1, 3, 0, 4. Oblicz średnią dzienną liczbę godzin nauki i podaj medianę.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: średnia 2 godziny, mediana 2 godziny.
Średnia: (2 + 1 + 3 + 0 + 4) : 5 = 10 : 5 = 2 godziny.
Mediana: porządkujemy rosnąco 0, 1, 2, 3, 4; wartością środkową jest 2.
Uwaga: zera nie wolno pominąć przy liczeniu. Dzień bez nauki to nadal jeden z pięciu dni, więc dzielimy przez 5, a nie przez 4. To najczęstszy błąd w zadaniach z danymi zawierającymi zero.
Najczęstsze pytania
Czym różni się mediana od średniej?
Średnia to suma podzielona przez liczbę elementów, mediana to wartość środkowa w zbiorze uporządkowanym rosnąco. Jedna bardzo duża liczba mocno podnosi średnią, ale prawie nie rusza mediany.
Czy medianą może być liczba spoza zbioru?
Tak, gdy liczb jest parzyście wiele. Dla zbioru 1, 3, 4, 8 medianą jest średnia dwóch środkowych, czyli 3,5 - a takiej liczby w zbiorze nie ma.
Jak liczyć prawdopodobieństwo na egzaminie ósmoklasisty?
Dzielisz liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. Wynik zapisuj ułamkiem zwykłym w postaci nieskracalnej, chyba że polecenie mówi inaczej.
Sprawdź, ile już umiesz
Pierwszy zestaw zadań rozwiążesz za darmo, bez zakładania konta i bez podawania karty.