Zadania z wyrażeń algebraicznych na egzamin ósmoklasisty
Redukcja wyrazów podobnych, mnożenie sum algebraicznych i wyłączanie wspólnego czynnika. Dział, w którym najwięcej punktów gubi się na znaku minus przed nawiasem.
Minus przed nawiasem - miejsce, w którym przepada najwięcej punktów
Kiedy przed nawiasem stoi minus, zmieniają się znaki WSZYSTKICH wyrazów w nawiasie, a nie tylko pierwszego. Wyrażenie −(a − b + c) to −a + b − c. Ta jedna reguła odpowiada za większość błędów w całym dziale i za utratę punktów w zadaniach otwartych, w których dalsze kroki są już policzone poprawnie.
Praktyczny nawyk: nigdy nie opuszczaj nawiasu w tym samym kroku, w którym mnożysz. Najpierw rozpisz mnożenie, dopiero potem zmień znaki. Dwa krótkie kroki są szybsze od jednego długiego, w którym trzeba pamiętać o dwóch rzeczach naraz.
Przy sprawdzaniu wyniku użyj podstawienia. Wstaw do wyrażenia przed przekształceniem i po przekształceniu tę samą, wygodną liczbę - na przykład a = 2, b = 1. Jeśli obie wartości są równe, przekształcenie prawie na pewno jest poprawne.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Spróbuj rozwiązać każde zadanie samodzielnie, zanim rozwiniesz rozwiązanie. Samo przeczytanie gotowego rozwiązania daje złudzenie, że się je rozumie.
Zadanie 1
Uprość wyrażenie 5(x + 2) − 3(x − 1).
- 2x + 7
- 2x + 13
- 8x + 7
- 2x + 9
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 2x + 13.
Rozpisujemy oba mnożenia: 5x + 10 − 3x + 3.
Uwaga na drugi nawias: −3 · (−1) = +3, a nie −3.
Redukujemy wyrazy podobne: (5x − 3x) + (10 + 3) = 2x + 13.
Dystraktor A (2x + 7) to właśnie efekt pomylenia znaku przy mnożeniu przez −1.
Zadanie 2
Wyłącz wspólny czynnik przed nawias: 6x² − 9x.
- 3(2x² − 3x)
- 3x(2x − 3)
- x(6x − 9)
- 3x(2x − 9)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 3x(2x − 3).
Największy wspólny czynnik liczb 6 i 9 to 3, a wspólną częścią literową jest x. Wyłączamy więc 3x.
Sprawdzenie: 3x · 2x = 6x² oraz 3x · (−3) = −9x. Zgadza się.
Odpowiedzi A i C też są poprawnymi przekształceniami, ale wyłączają tylko CZĘŚĆ wspólnego czynnika. Polecenie wymaga wyłączenia całego.
Zadanie 3
Jaka jest wartość wyrażenia 2a − 3b dla a = −1 i b = 2?
- −8
- −4
- 4
- 8
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź A: −8.
2 · (−1) − 3 · 2 = −2 − 6 = −8.
Przy podstawianiu liczb ujemnych ZAWSZE bierz je w nawias. Zapis 2 · −1 łatwo pomylić z 2 − 1, a to różnica między −2 a 1.
Zadanie 4
Obwód prostokąta, którego jeden bok ma długość x, a drugi jest o 3 dłuższy, wyraża się wzorem:
- 2x + 3
- 4x + 3
- 4x + 6
- x² + 3x
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź C: 4x + 6.
Boki mają długości x i x + 3.
Obwód: 2 · (x + (x + 3)) = 2 · (2x + 3) = 4x + 6.
Dystraktor D to POLE prostokąta, a nie obwód. Zawsze sprawdź, o którą wielkość pyta zadanie - obwód to suma boków, pole to iloczyn.
Zadanie 5
Wyrażenie 2(a − 2b) − (a − b)(2 − b) + b² można zapisać w postaci:
- ab − 2b
- ab + 2b
- 2ab − 2b
- ab − 4b
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź A: ab − 2b.
Pierwszy składnik: 2(a − 2b) = 2a − 4b.
Iloczyn w nawiasie: (a − b)(2 − b) = 2a − ab − 2b + b².
Odejmujemy go, więc wszystkie znaki się zmieniają: −2a + ab + 2b − b².
Składamy całość: 2a − 4b − 2a + ab + 2b − b² + b² = ab − 2b.
To zadanie łączy obie pułapki działu naraz: mnożenie sum "każdy przez każdy" i zmianę znaków po minusie przed nawiasem.
Zadanie 6
Zadanie otwarte (2 punkty). Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego: liczba o 5 większa od trzykrotności liczby n, a następnie oblicz jej wartość dla n = 4.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 3n + 5, dla n = 4 wynosi 17.
"Trzykrotność liczby n" to 3n. "O 5 większa" oznacza dodanie 5, czyli 3n + 5.
Dla n = 4: 3 · 4 + 5 = 12 + 5 = 17.
Uwaga na kolejność słów. "O 5 większa od trzykrotności n" to 3n + 5, ale "trzykrotność liczby o 5 większej od n" to już 3(n + 5). Dla n = 4 drugie wyrażenie daje 27, a nie 17.
Najczęstsze pytania
Jak sprawdzić, czy przekształciłem wyrażenie poprawnie?
Podstaw tę samą prostą liczbę do wyrażenia przed i po przekształceniu. Jeśli wyniki się różnią, gdzieś jest błąd - najczęściej przy zmianie znaku po opuszczeniu nawiasu.
Co to znaczy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias?
To działanie odwrotne do mnożenia sumy przez liczbę. Szukasz największego czynnika wspólnego dla wszystkich składników i zapisujesz go przed nawiasem, na przykład 6x² minus 9x to 3x razy nawias 2x minus 3.
Czy wzory skróconego mnożenia są na egzaminie ósmoklasisty?
Nie są wymagane. Wystarczy umieć wymnożyć sumy algebraiczne każdy przez każdy - wzory skróconego mnożenia to materiał szkoły ponadpodstawowej.
Sprawdź, ile już umiesz
Pierwszy zestaw zadań rozwiążesz za darmo, bez zakładania konta i bez podawania karty.