Zadania z geometrii na egzamin ósmoklasisty
Pola, obwody, kąty, twierdzenie Pitagorasa i bryły. To dział, w którym najłatwiej stracić punkt przez brak jednostki albo rysunek wykonany ołówkiem.
Co trzeba mieć w głowie, bo nie dostaniesz tego na sali
Na egzaminie nie ma karty wzorów ani tablic. Oznacza to, że wzory na pole trójkąta, trapezu, rombu i koła, na objętość graniastosłupa i ostrosłupa oraz twierdzenie Pitagorasa musisz znać na pamięć. Jedynym przyborem dodatkowym na matematyce jest linijka.
Cyrkla nie wolno wnieść na salę, więc żadne zadanie nie będzie wymagało wykreślenia okręgu o zadanym promieniu. Rysunki pomocnicze wykonuje się długopisem - ołówek jest zakazany i praca zapisana ołówkiem nie zostanie oceniona.
Najczęstszy typ zadania to figura złożona: prostokąt z wyciętym trójkątem, trapez podzielony na kwadrat i trójkąt prostokątny, sześcian z odciętym narożnikiem. Metoda zawsze jest ta sama - podziel figurę na kształty, których wzory znasz, policz je osobno i dodaj albo odejmij.
Szersze omówienie teorii - z podziałem na pola, obwody i twierdzenie Pitagorasa - znajdziesz w artykule o geometrii na egzaminie ósmoklasisty. Tutaj skupiamy się na samych zadaniach.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Spróbuj rozwiązać każde zadanie samodzielnie, zanim rozwiniesz rozwiązanie. Samo przeczytanie gotowego rozwiązania daje złudzenie, że się je rozumie.
Zadanie 1
Trapez ma podstawy o długościach 8 cm i 12 cm oraz wysokość 5 cm. Jakie jest pole tego trapezu?
- 40 cm²
- 50 cm²
- 60 cm²
- 100 cm²
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 50 cm².
Wzór na pole trapezu: P = (a + b) : 2 · h.
P = (8 + 12) : 2 · 5 = 10 · 5 = 50 cm².
Dystraktor D (100 cm²) powstaje z pominięcia dzielenia przez 2, czyli z pomylenia wzoru na trapez ze wzorem na prostokąt. Zapamiętaj go jako "średnia podstaw razy wysokość".
Zadanie 2
Jaka jest długość przekątnej kwadratu o boku 5 cm?
- 5 cm
- 10 cm
- 5√2 cm
- 25 cm
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź C: 5√2 cm.
Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Z twierdzenia Pitagorasa: d² = 5² + 5² = 50, więc d = √50 = √(25 · 2) = 5√2.
Warto znać ten wzór wprost: przekątna kwadratu o boku a ma długość a√2, a wysokość trójkąta równobocznego o boku a to a√3 : 2. Oba pojawiają się w arkuszach regularnie.
Zadanie 3
W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę 40°. Jaką miarę ma każdy z kątów przy podstawie?
- 40°
- 50°
- 70°
- 80°
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź C: 70°.
Suma kątów w trójkącie to 180°. Na dwa kąty przy podstawie zostaje 180° − 40° = 140°.
W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, więc każdy ma 140° : 2 = 70°.
Dystraktor B (50°) to wynik potraktowania trójkąta jak prostokątnego. Zawsze sprawdź, czy zadanie faktycznie mówi o kącie prostym.
Zadanie 4
Prostopadłościan ma wymiary 3 cm, 4 cm i 12 cm. Jaka jest długość jego przekątnej?
- 12 cm
- 13 cm
- 15 cm
- 19 cm
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 13 cm.
Najpierw przekątna podstawy: d² = 3² + 4² = 25, czyli d = 5 cm.
Teraz przekątna bryły, w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 5 cm i 12 cm: D² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, czyli D = 13 cm.
To zadanie to dwa twierdzenia Pitagorasa jedno po drugim. Rozpoznanie trójek 3-4-5 i 5-12-13 pozwala rozwiązać je w kilkanaście sekund, bez liczenia pierwiastków.
Zadanie 5
Graniastosłup prosty ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm, a jego wysokość wynosi 10 cm. Jaka jest objętość tego graniastosłupa?
- 30 cm³
- 60 cm³
- 120 cm³
- 150 cm³
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź B: 60 cm³.
Pole podstawy: P = 3 · 4 : 2 = 6 cm².
Objętość graniastosłupa: V = P · H = 6 · 10 = 60 cm³.
Dystraktor C (120 cm³) to pominięcie dzielenia przez 2 przy polu trójkąta. Zwróć też uwagę na jednostkę: objętość podajemy w centymetrach SZEŚCIENNYCH. Zła jednostka w zadaniu otwartym kosztuje punkt.
Zadanie 6
Zadanie otwarte (3 punkty). Działka ma kształt prostokąta o wymiarach 30 m na 20 m. Właściciel chce ogrodzić ją siatką, zostawiając bramę o szerokości 4 m. Ile metrów siatki potrzeba? Ile zapłaci, jeśli metr siatki kosztuje 28 zł?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 96 m siatki, 2688 zł.
Obwód działki: 2 · (30 + 20) = 100 m.
Odejmujemy bramę: 100 − 4 = 96 m.
Koszt: 96 · 28 = 2688 zł.
Jak zbierać punkty: to zadanie ma trzy wyraźne kroki i każdy z nich jest wart punktu. Nawet jeśli pomylisz się w mnożeniu na końcu, poprawnie obliczony obwód i uwzględnienie bramy to istotny postęp.
Najczęstsze pytania
Czy na egzamin ósmoklasisty trzeba wziąć cyrkiel?
Nie. Komunikat CKE o przyborach wymienia dla matematyki wyłącznie długopis lub pióro z czarnym tuszem oraz linijkę. Cyrkla ani ekierki nie wolno wnieść na salę.
Czy rysunki można wykonać ołówkiem?
Nie. Komunikat CKE mówi wprost: rysunki wykonuje się długopisem, nie wykonuje się rysunków ołówkiem. Rozwiązanie zapisane ołówkiem nie zostanie ocenione.
Jakie trójki pitagorejskie warto znać na pamięć?
Przede wszystkim 3-4-5, 5-12-13 i 8-15-17 oraz ich wielokrotności, na przykład 6-8-10 czy 9-12-15. Rozpoznanie takiej trójki oszczędza całe obliczenie.
Sprawdź, ile już umiesz
Pierwszy zestaw zadań rozwiążesz za darmo, bez zakładania konta i bez podawania karty.