Geometria na egzaminie ósmoklasisty - pola, obwody i twierdzenie Pitagorasa

Dlaczego geometria jest tak ważna

Zadań otwartych w arkuszu jest tylko pięć albo sześć, a warte są około połowy z 30 punktów. Znaczna ich część to zadania geometryczne - najczęściej takie, w których trzeba policzyć pole lub długość odcinka w figurze złożonej, po drodze korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Do tego dochodzi istotny szczegół: na egzaminie nie dostaniesz karty wzorów. Wszystkie wzory na pola i objętości musisz mieć w głowie.

Pola i obwody figur płaskich

Figura	Pole	Obwód
kwadrat o boku a	a²	4a
prostokąt o bokach a, b	a · b	2(a + b)
trójkąt o podstawie a i wysokości h	½ · a · h	suma boków
równoległobok o podstawie a i wysokości h	a · h	2(a + b)
romb o przekątnych e, f	½ · e · f	4a
trapez o podstawach a, b, wysokości h	½ · (a + b) · h	suma boków
koło o promieniu r	πr²	2πr

Dwie uwagi, które oszczędzają błędy:

• W równoległoboku i trapezie wysokość to nie bok. Wysokość jest prostopadła do podstawy. Mylenie boku ukośnego z wysokością to klasyczny błąd.
• Obwód koła nazywa się obwodem okręgu i wynosi 2πr, a nie πr².

Trójkąty szczególne

Ta część powtórki zwraca się najbardziej, bo bez niej wiele zadań staje się nierozwiązywalnych.

Trójkąt o kątach 90°, 45°, 45° (połowa kwadratu):

• przyprostokątne równe: a
• przeciwprostokątna: a√2

Trójkąt o kątach 90°, 30°, 60° (połowa trójkąta równobocznego):

• krótsza przyprostokątna (naprzeciw 30°): a
• dłuższa przyprostokątna (naprzeciw 60°): a√3
• przeciwprostokątna: 2a

Trójkąt równoboczny o boku a:

• wysokość: (a√3) / 2
• pole: (a²√3) / 4

Kwadrat o boku a:

• przekątna: a√2

Jeśli zapamiętasz tylko jedną rzecz z tej sekcji, niech to będzie a√2 i a√3. Te dwa wyrażenia pojawiają się w arkuszach nieustannie.

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a, b i przeciwprostokątnej c:

a² + b² = c²

Trzy rzeczy warte zapamiętania:

Przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem i leży naprzeciw kąta prostego. Podstawianie do wzoru "na ślepo", bez sprawdzenia, który bok jest przeciwprostokątną, to najczęstsza przyczyna błędnych wyników.

Twierdzenie odwrotne też obowiązuje. Jeśli w trójkącie o bokach a, b, c zachodzi a² + b² = c², to trójkąt jest prostokątny. Tego używa się w zadaniach typu "wykaż, że trójkąt o bokach 5, 12, 13 jest prostokątny".

Trójki pitagorejskie warto znać na pamięć, bo skracają rachunki: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) oraz ich wielokrotności, na przykład (6, 8, 10) czy (9, 12, 15).

Bryły

Bryła	Objętość	Pole powierzchni całkowitej
sześcian o krawędzi a	a³	6a²
prostopadłościan o krawędziach a, b, c	a · b · c	2(ab + bc + ac)
graniastosłup prosty	P<sub>p</sub> · H	2P<sub>p</sub> + P<sub>b</sub>
ostrosłup	⅓ · P<sub>p</sub> · H	P<sub>p</sub> + P<sub>b</sub>

Gdzie P_p to pole podstawy, P_b pole powierzchni bocznej, H wysokość bryły.

W zadaniach o graniastosłupach i ostrosłupach kluczowe bywa rozróżnienie wysokości bryły od wysokości ściany bocznej. To dwie różne wielkości i mylenie ich psuje całe rozwiązanie.

Kąty

• suma kątów w trójkącie: 180°
• suma kątów w czworokącie: 360°
• suma kątów wewnętrznych w n-kącie: (n − 2) · 180°
• kąty wierzchołkowe są równe
• kąty przyległe sumują się do 180°
• w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe

Ostatni punkt wraca w zadaniach bardzo często i wielu uczniów o nim zapomina, mimo że jest prosty.

Typ zadania, który wraca co roku

Przykład. Trapez prostokątny ma podstawy o długościach 10 cm i 6 cm oraz ramię prostopadłe do podstaw o długości 3 cm. Oblicz pole trapezu i długość drugiego ramienia.

Rozwiązanie:

1. Pole. Wysokość trapezu to ramię prostopadłe, czyli 3 cm. P = ½ · (10 + 6) · 3 = ½ · 16 · 3 = 24 cm²

2. Drugie ramię. Odetnijmy od trapezu prostokąt o bokach 6 cm i 3 cm. Zostaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: 3 cm (wysokość) i 10 − 6 = 4 cm. Z twierdzenia Pitagorasa: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, czyli c = 5 cm.

Zauważ, że pojawiła się tu trójka pitagorejska (3, 4, 5) - autorzy arkuszy lubią je stosować, żeby wynik wyszedł "okrągły".

Skala i figury podobne

Temat, który bywa pomijany w powtórce, a pojawia się w zadaniach z planami i mapami.

Jeśli figury są podobne w skali k:

• długości odcinków zmieniają się k razy,
• pola zmieniają się k² razy,
• objętości zmieniają się k³ razy.

To drugie zaskakuje najczęściej. Jeśli bok kwadratu podwoisz, pole wzrośnie czterokrotnie, a nie dwukrotnie.

Jak ćwiczyć geometrię

Rysuj zawsze, nawet gdy rysunek jest w treści. Własny szkic z naniesionymi danymi porządkuje myślenie i często sam podsuwa rozwiązanie. Pamiętaj tylko, że na egzaminie rysunki wykonuje się długopisem, nie ołówkiem - ołówkowy rysunek może zostać pominięty przy ocenianiu.

Rozbijaj figury złożone na proste. Prawie każde trudne zadanie geometryczne polega na dostrzeżeniu, że figura jest sumą albo różnicą figur, które umiesz policzyć.

Szukaj trójkątów prostokątnych. Jeśli w zadaniu jest wysokość, przekątna albo ramię prostopadłe, prawie na pewno prowadzi to do twierdzenia Pitagorasa.

Plan powtórki, który uwzględnia geometrię, opisujemy w artykule o tym, jak uczyć się do egzaminu przez trzy miesiące.

Sprawdź się w praktyce. Na ex8.pl rozwiązujesz zadania egzaminacyjne w formie gry, a po każdym z nich dostajesz rozwiązanie krok po kroku. Zagraj w darmowe demo albo zobacz pakiety.

Najczęstsze pytania

Jakie wzory z geometrii trzeba znać na egzamin ósmoklasisty?

Pola i obwody kwadratu, prostokąta, trójkąta, równoległoboku, rombu, trapezu i koła, objętości oraz pola powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów, a także twierdzenie Pitagorasa i zależności w trójkątach szczególnych.

Jak brzmi twierdzenie Pitagorasa?

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej: a² + b² = c².

Które trójki pitagorejskie warto znać?

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) i (7, 24, 25) oraz ich wielokrotności, na przykład (6, 8, 10). Autorzy arkuszy stosują je, żeby wyniki wychodziły okrągłe.

Jaka jest przekątna kwadratu o boku a?

a√2. Analogicznie wysokość trójkąta równobocznego o boku a wynosi (a√3)/2.

Co się dzieje z polem, gdy powiększę figurę w skali k?

Długości rosną k razy, pola k² razy, a objętości k³ razy. Podwojenie boku kwadratu zwiększa jego pole czterokrotnie.

Jak liczyć pole figury złożonej?

Rozbić ją na figury proste, których wzory znasz, i dodać albo odjąć ich pola. Prawie każde trudniejsze zadanie geometryczne sprowadza się do tego kroku.

Czym różni się wysokość bryły od wysokości ściany bocznej?

Wysokość bryły jest prostopadła do podstawy, a wysokość ściany bocznej leży w płaszczyźnie tej ściany. Mylenie ich to częsty błąd w zadaniach o ostrosłupach.