Równania na egzaminie ósmoklasisty - jak je rozwiązywać i gdzie znikają punkty
Równanie to jedno z niewielu zadań, w których odpowiedź da się sprawdzić samodzielnie, jeszcze w sali egzaminacyjnej. Wystarczy podstawić wynik i policzyć obie strony. Poniżej: co wolno zrobić z równaniem, jak zapisać zadanie tekstowe i gdzie ósmoklasiści gubią punkty najczęściej.
Co znaczy "rozwiązać równanie"
Rozwiązać równanie to znaleźć taką liczbę, która po wstawieniu w miejsce niewiadomej daje po obu stronach znaku równości tę samą wartość. To definicja, ale też gotowy sposób sprawdzenia: jeśli po podstawieniu obie strony wychodzą różne, wynik jest zły i wiesz o tym, zanim zobaczysz klucz odpowiedzi.
Przykład: dla równania 3x - 4 = 11 rozwiązaniem jest x = 5, bo 3 · 5 - 4 = 11 i 11 = 11.
Ta możliwość sprawdzenia jest w zadaniach otwartych warta więcej niż się wydaje - o zasadach ich punktowania piszemy w tekście o zadaniach otwartych z matematyki.
Trzy przekształcenia, które wolno wykonać
Równanie zachowuje rozwiązanie, gdy po obu stronach wykonasz tę samą operację:
- dodanie lub odjęcie tej samej liczby (albo tego samego wyrażenia),
- pomnożenie lub podzielenie obu stron przez tę samą liczbę różną od zera,
- uporządkowanie każdej strony osobno - redukcja wyrazów podobnych, wymnożenie nawiasu.
Powszechne "przenoszenie na drugą stronę ze zmianą znaku" to skrót myślowy dla punktu 1. Warto o tym pamiętać, bo skrót łatwo zastosować mechanicznie i pomylić znak.
Równanie krok po kroku
Rozwiążmy 2(x + 3) - 5 = 3x - 4.
Krok 1. Wymnóż nawiasy. 2x + 6 - 5 = 3x - 4
Krok 2. Uporządkuj każdą stronę. 2x + 1 = 3x - 4
Krok 3. Zbierz niewiadome po jednej stronie, liczby po drugiej. Odejmij 2x od obu stron: 1 = x - 4. Dodaj 4 do obu stron: 5 = x
Krok 4. Sprawdź. Lewa strona: 2(5 + 3) - 5 = 16 - 5 = 11. Prawa strona: 3 · 5 - 4 = 11. Zgadza się.
Równania z ułamkami
Ułamki znikają, gdy pomnożysz obie strony i każdy składnik przez wspólny mianownik.
Dla (x / 3) + (x / 2) = 5 wspólnym mianownikiem jest 6. Po pomnożeniu: 2x + 3x = 30, czyli 5x = 30 i x = 6.
Najczęstszy błąd w tym miejscu to pomnożenie tylko części wyrażenia. Mnożysz wszystko - także wyraz bez ułamka.
Zadania tekstowe: od zdania do równania
W arkuszu równanie rzadko jest podane wprost. Zwykle trzeba je ułożyć, a to jest właściwa trudność zadania. Schemat, który działa niemal zawsze:
- Nazwij niewiadomą i zapisz to jawnie. "Niech x oznacza liczbę biletów ulgowych." Ten jeden wiersz bywa punktowany, bo pokazuje, że rozumiesz zadanie.
- Zapisz pozostałe wielkości przez tę samą niewiadomą. Jeśli biletów było łącznie 40, to normalnych jest 40 - x.
- Znajdź w treści zdanie, które łączy wielkości znakiem równości. Zwykle to zdanie o sumie, różnicy albo o tym, że "za wszystko zapłacono...".
- Rozwiąż i wróć do treści. Odpowiedz na pytanie, które faktycznie zadano.
Punkt 4 wygląda banalnie, a jest źródłem straty punktu: zadanie pyta o liczbę biletów normalnych, a uczeń podaje x, czyli ulgowe.
Cztery błędy, które kosztują najwięcej
Znak przy przenoszeniu. Z x - 7 = 2 wychodzi x = 9, nie x = -5. Sprawdzenie wyniku wyłapuje to w kilkanaście sekund.
Minus przed nawiasem. 5 - (x - 2) to 5 - x + 2, czyli 7 - x. Minus zmienia znak każdego składnika w nawiasie.
Dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą. Wolno dzielić przez liczbę różną od zera. Dzielenie obu stron przez x może zgubić rozwiązanie, bo x mogłoby być zerem.
Brak zapisu przekształceń. Nawet gdy wynik jest poprawny, sam wynik bez drogi bywa punktowany niżej niż pełne rozwiązanie. Odwrotnie też: za istotny postęp należy się punkt, więc rozpoczęte równanie jest zawsze lepsze niż puste miejsce.
Więcej takich pułapek zebraliśmy w tekście o najczęstszych błędach na egzaminie z matematyki.
Jak ćwiczyć, żeby to weszło w rękę
Równania są wdzięczne do ćwiczenia, bo każde rozwiązanie sprawdzasz sam. Rób serie po kilkanaście zadań i za każdym razem wykonuj sprawdzenie - po dwóch tygodniach zaczniesz wyłapywać błąd znaku jeszcze w trakcie liczenia.
Zestaw zadań z tego działu znajdziesz w testach z równań, a cały arkusz z matematyki opisujemy w tekście o budowie arkusza.
Najczęstsze pytania
Czy na egzaminie można używać kalkulatora przy równaniach?
Nie. Na egzaminie ósmoklasisty nie ma kalkulatora - wyjątkiem są uczniowie z przyznanym dostosowaniem. Z matematyki wolno mieć długopis lub pióro z czarnym tuszem oraz linijkę.
Czy trzeba zapisywać sprawdzenie?
Nie ma takiego obowiązku, ale sprawdzenie zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje najczęstszy błąd, czyli pomyłkę znaku. Warto je robić choćby na brudno.
Co, jeśli nie umiem ułożyć równania do zadania tekstowego?
Zapisz to, co potrafisz: oznaczenie niewiadomej, wypisane dane, rysunek. Zadania otwarte są punktowane etapami i za istotny postęp przysługuje punkt, więc częściowe rozwiązanie jest zawsze lepsze niż puste miejsce.
Czy równania z dwiema niewiadomymi są na egzaminie ósmoklasisty?
Zakres egzaminu obejmuje treści podstawy programowej szkoły podstawowej. Układy równań z dwiema niewiadomymi są materiałem szkoły ponadpodstawowej, natomiast zadania tekstowe potrafią wymagać zapisania dwóch wielkości przez tę samą niewiadomą - i to ćwiczenie jest tu najważniejsze.
