Potęgi i pierwiastki na egzaminie ósmoklasisty - działania, notacja wykładnicza, przykłady

Potęga: co dokładnie oznacza zapis

Zapis a^n (czytamy: a do potęgi n) oznacza mnożenie liczby a przez siebie n razy. Liczba a to podstawa, n to wykładnik.

2^5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

Dwa przypadki warto zapamiętać osobno, bo wracają w arkuszu:

• kwadrat liczby ujemnej jest dodatni: (-3)^2 = 9,
• minus przed potęgą to co innego niż minus w podstawie: -3^2 = -9, bo najpierw podnosimy do kwadratu, a dopiero potem bierzemy liczbę przeciwną.

Ta druga różnica jest odpowiedzialna za sporą część błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych.

Cztery zasady działań na potęgach

Mnożenie potęg o tej samej podstawie - wykładniki dodajemy: 2^3 · 2^4 = 2^7

Dzielenie potęg o tej samej podstawie - wykładniki odejmujemy: 5^6 / 5^2 = 5^4

Potęga potęgi - wykładniki mnożymy: (3^2)^4 = 3^8

Potęga iloczynu i ilorazu - wykładnik rozdziela się na czynniki: (2 · 5)^3 = 2^3 · 5^3

Uwaga na warunek, o którym łatwo zapomnieć: pierwsze dwie zasady działają tylko przy tej samej podstawie. Wyrażenia 2^3 · 3^3 nie skrócisz przez dodanie wykładników - tutaj działa dopiero zasada czwarta, czytana od prawej do lewej: 2^3 · 3^3 = 6^3.

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to zapis liczby w postaci a · 10^n, gdzie a jest liczbą od 1 do 10 (nie licząc 10).

• 43 000 = 4,3 · 10^4
• 0,00052 = 5,2 · 10^-4

Praktyczna wskazówka: wykładnik to liczba miejsc, o które przesuwa się przecinek. W prawo - wykładnik dodatni, w lewo - ujemny. W zadaniach z fizyki i geografii ten zapis pojawia się przy odległościach i masach, a na egzaminie z matematyki najczęściej przy porównywaniu dużych liczb.

Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej a to taka liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje a. Pierwiastek sześcienny z a to liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje a - i tutaj podstawa może być ujemna.

• pierwiastek kwadratowy z 49 = 7
• pierwiastek sześcienny z 64 = 4
• pierwiastek sześcienny z -8 = -2

Wartości, które warto mieć w pamięci, bo na egzaminie nie ma karty wzorów ani tablic: kwadraty liczb od 1 do 15 oraz sześciany od 1 do 5. Piszemy o tym szerzej w tekście o tym, czy na egzaminie jest karta wzorów.

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

To przekształcenie wraca w zadaniach z twierdzenia Pitagorasa, gdzie wynik rzadko jest liczbą całkowitą.

Pierwiastek z 72 rozkładamy tak: 72 = 36 · 2, więc pierwiastek z 72 = 6 razy pierwiastek z 2.

Szukamy największego kwadratu, który dzieli liczbę pod pierwiastkiem. Ćwiczenie sprowadza się do znajomości kwadratów - stąd rada, żeby mieć je w pamięci.

Szacowanie wartości pierwiastka

Zadania zamknięte często nie wymagają dokładnej wartości, tylko przedziału. Wystarczy znaleźć dwa sąsiednie kwadraty:

pierwiastek z 50 leży między 7 a 8, bo 7^2 = 49, a 8^2 = 64. I jest bliżej 7, bo 50 jest bliżej 49.

Ten sposób rozwiązuje typowe pytanie "między którymi liczbami całkowitymi leży..." bez liczenia czegokolwiek dokładnie.

Gdzie te umiejętności wracają

• Twierdzenie Pitagorasa - kwadraty i pierwiastki w każdym kroku, patrz tekst o geometrii na egzaminie.
• Pole kwadratu i objętość sześcianu - działanie odwrotne, czyli pierwiastek z pola albo z objętości.
• Porównywanie dużych liczb - notacja wykładnicza.

Zestaw zadań z tego działu jest w testach z potęg i pierwiastków.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi liczba podniesiona do potęgi zerowej?

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje 1. Na przykład 7^0 = 1.

Czy pierwiastek z liczby ujemnej istnieje?

Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb, którymi posługujemy się w szkole podstawowej. Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny.

Czy trzeba znać kwadraty liczb na pamięć?

Nie jest to formalny wymóg, ale bardzo się opłaca. Na egzaminie nie ma karty wzorów ani kalkulatora, więc każde szacowanie pierwiastka i każde wyłączanie czynnika opiera się na kwadratach, które masz w głowie.

Czym różni się (-2)^4 od -2^4?

Pierwszy zapis to podniesienie liczby -2 do czwartej potęgi, czyli 16. Drugi to liczba przeciwna do 2^4, czyli -16. Decyduje nawias.