Statystyka i prawdopodobieństwo na egzaminie ósmoklasisty - średnia, mediana i szanse
To dział, w którym trudność rzadko leży w rachunkach - te są proste. Punkty giną gdzie indziej: przy odczycie danych z diagramu, przy medianie policzonej bez uporządkowania liczb i przy myleniu liczby zdarzeń sprzyjających z liczbą wszystkich możliwych.
Odczyt danych: zanim policzysz, przeczytaj opis osi
Zadania z tego działu prawie zawsze zaczynają się od tabeli, diagramu słupkowego albo kołowego. Zanim cokolwiek policzysz, sprawdź trzy rzeczy:
- Co jest na osi pionowej - liczba osób czy procent? To zmienia całe rozwiązanie.
- Jaka jest jednostka i skala - czy jeden słupek to jedna osoba, czy dziesięć.
- Czy diagram obejmuje całość - w diagramie kołowym części sumują się do 100%, w słupkowym niekoniecznie.
Większość błędów w tym dziale powstaje właśnie tutaj, a nie przy liczeniu.
Średnia arytmetyczna
Średnia to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę.
Dla ocen 3, 4, 4, 5, 6: (3 + 4 + 4 + 5 + 6) / 5 = 22 / 5 = 4,4
Dwa warianty, które wracają w arkuszu:
Średnia z tabeli liczebności. Gdy dane są zebrane w tabelę (ocena i liczba uczniów), każdą wartość mnożymy przez jej liczebność, sumujemy i dzielimy przez liczbę wszystkich uczniów - nie przez liczbę różnych ocen.
Zadanie odwrotne. "Średnia pięciu liczb wynosi 7, cztery z nich to 5, 6, 8, 9. Jaka jest piąta?" Suma wszystkich musi wynosić 5 · 7 = 35, znane cztery dają 28, więc szukana liczba to 7. Ten typ zadania sprowadza się do jednego równania.
Mediana
Mediana to wartość środkowa uporządkowanego zestawu danych.
- Dla 2, 3, 5, 7, 9 (pięć liczb) medianą jest 5, czyli liczba trzecia.
- Dla 2, 3, 5, 7 (cztery liczby) medianą jest średnia dwóch środkowych: (3 + 5) / 2 = 4.
Słowo "uporządkowanego" jest tu najważniejsze. Dane w zadaniu prawie nigdy nie są podane rosnąco, a mediana policzona bez uporządkowania jest po prostu błędna. Pierwsza czynność w każdym zadaniu z medianą to przepisanie liczb w kolejności.
Warto też pamiętać, że średnia i mediana to różne rzeczy: jedna bardzo duża wartość mocno podnosi średnią, a medianą prawie nie rusza.
Prawdopodobieństwo w prostych doświadczeniach
W zakresie szkoły podstawowej prawdopodobieństwo liczy się w doświadczeniach, w których wszystkie wyniki są jednakowo możliwe: rzut monetą, rzut kostką, losowanie kuli z pudełka.
Prawdopodobieństwo = liczba zdarzeń sprzyjających / liczba wszystkich możliwych wyników
Przykład: w pudełku jest 5 kul białych i 3 czarne. Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej to 3 / 8.
Przykład z kostką: prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek większej niż 4 to 2 / 6 = 1 / 3, bo sprzyjają dwa wyniki (5 i 6) z sześciu możliwych.
Trzy rzeczy, które warto sprawdzić w każdym takim zadaniu:
- Mianownik to WSZYSTKIE wyniki, także te niesprzyjające. W przykładzie z kulami to 8, nie 3.
- Wynik jest liczbą od 0 do 1. Jeśli wyszło więcej niż 1, na pewno jest błąd.
- Czy losowanie jest ze zwracaniem. Przy losowaniu dwóch kul bez zwracania liczba wszystkich możliwości zmienia się po pierwszym losowaniu.
Typowe błędy
- Mediana bez uporządkowania danych.
- Dzielenie przez liczbę różnych wartości zamiast przez liczbę wszystkich danych w średniej z tabeli liczebności.
- Mylenie procentu z liczbą osób przy odczycie z diagramu.
- Zapisanie prawdopodobieństwa jako stosunku sprzyjających do niesprzyjających (3 : 5) zamiast do wszystkich (3 / 8).
Dlaczego warto ten dział opanować
Zadania z odczytu danych i średniej są zwykle wśród najprostszych w arkuszu, a rozwiązuje się je szybko. To dobre miejsce na zdobycie pewnych punktów na początku pracy i zostawienie sobie czasu na zadania otwarte. Jak rozplanować te 125 minut, piszemy w tekście o budowie arkusza z matematyki.
Zestaw zadań z tego działu jest w testach ze statystyki i prawdopodobieństwa.
Najczęstsze pytania
Czy mediana zawsze jest jedną z liczb w zestawie?
Nie. Przy parzystej liczbie danych mediana to średnia dwóch środkowych wartości i może nie występować w zestawie - jak 4 dla danych 2, 3, 5, 7.
Jak zapisać prawdopodobieństwo: ułamkiem czy procentem?
Obie postaci są poprawne, o ile wynik jest ten sam. Ułamek zwykły bywa bezpieczniejszy, bo nie wymaga dzielenia i zaokrąglania.
Czy na egzaminie trzeba znać pojęcie dominanty?
Zadania opierają się na średniej arytmetycznej i medianie. Warto jednak wiedzieć, że dominanta to wartość występująca najczęściej - pytanie o nią jest proste, jeśli zna się definicję.
Co zrobić, gdy diagram jest nieczytelny?
Odczytaj tyle, ile się da, i zapisz odczytane wartości przy zadaniu. W zadaniach otwartych punktowane są kolejne etapy rozwiązania, więc wypisane dane i rozpoczęte obliczenia są warte więcej niż puste miejsce.
