Procenty na egzaminie ósmoklasisty - typy zadań i sposoby ich rozwiązywania

Trzy wzory, z których bierze się wszystko

Zanim przejdziemy do typów zadań, warto uporządkować podstawę. Praktycznie każde zadanie z procentów na egzaminie ósmoklasisty da się rozwiązać, korzystając z jednej z trzech zależności:

1. Obliczanie procentu z liczby

p% z a = (p / 100) · a

2. Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga

(a / b) · 100%

3. Obliczanie liczby na podstawie jej procentu

Jeśli p% liczby x wynosi a, to x = a · 100 / p

Pamiętaj, że karty wzorów na egzaminie nie ma - te trzy zależności musisz mieć w głowie. Piszemy o tym szerzej w tekście o tym, czy na egzaminie jest karta wzorów.

Typ 1: procent z liczby

Najprostszy wariant i najczęstszy w zadaniach zamkniętych.

Przykład. Bluza kosztuje 120 zł. Ile wynosi 15% jej ceny?

Rozwiązanie: 15% z 120 = 0,15 · 120 = 18 zł.

Zamiana procentu na ułamek dziesiętny (dzielenie przez 100) jest tu szybsza niż liczenie "1% to 1,2 zł, więc 15% to 15 razy 1,2 zł" - choć obie drogi są poprawne.

Typ 2: jakim procentem jest jedna liczba drugiej

Przykład. W klasie jest 25 uczniów, z czego 15 to dziewczynki. Jaki procent klasy stanowią dziewczynki?

Rozwiązanie: (15 / 25) · 100% = 0,6 · 100% = 60%.

Uwaga na kolejność. Pytanie brzmi "jakim procentem klasy", więc w mianowniku ląduje liczebność klasy, nie liczba dziewczynek. Odwrócenie ułamka to najczęstszy błąd w tym typie.

Typ 3: liczba na podstawie jej procentu

Ten wariant sprawia najwięcej trudności, bo trzeba iść "od tyłu".

Przykład. 30% pewnej liczby wynosi 42. Jaka to liczba?

Rozwiązanie: x = 42 · 100 / 30 = 4200 / 30 = 140.

Sprawdzenie: 30% ze 140 = 0,3 · 140 = 42. Zgadza się.

Sposób, który pomaga wielu uczniom: policz najpierw, ile wynosi 1%. Skoro 30% to 42, to 1% to 42 : 30 = 1,4. A 100% to 1,4 · 100 = 140.

Typ 4: podwyżki i obniżki

Tu zaczyna się część, w której traci się najwięcej punktów.

Podwyżka o p%: nowa wartość = a · (1 + p/100) Obniżka o p%: nowa wartość = a · (1 − p/100)

Przykład. Cena roweru wynosiła 800 zł. Najpierw wzrosła o 10%, a potem spadła o 10%. Ile kosztuje rower teraz?

Odruchowa odpowiedź brzmi "800 zł, bo wróciło do punktu wyjścia". Jest błędna.

• po podwyżce: 800 · 1,1 = 880 zł
• po obniżce: 880 · 0,9 = 792 zł

Dlaczego? Bo podwyżka liczona jest od 800 zł, a obniżka od 880 zł. Procent zawsze odnosi się do wartości bezpośrednio poprzedzającej, a ta się zmieniła. To jedna z ulubionych pułapek autorów arkuszy i pojawia się regularnie.

Ta sama zasada w drugą stronę: jeśli towar potaniał o 20%, to żeby wrócić do ceny wyjściowej, trzeba go podnieść o 25%, a nie o 20%.

Typ 5: obliczanie ceny przed obniżką

Przykład. Po obniżce o 20% kurtka kosztuje 240 zł. Ile kosztowała przed obniżką?

Kluczowa obserwacja: 240 zł to nie jest 100% ceny, tylko 80% (bo 20% zostało odjęte).

Rozwiązanie: x · 0,8 = 240, czyli x = 240 : 0,8 = 300 zł.

Sprawdzenie: 20% z 300 = 60, a 300 − 60 = 240. Zgadza się.

Najczęstszy błąd polega na dodaniu 20% do 240 zł, co daje 288 zł - liczbę, która nie ma związku z zadaniem, bo 20% zostało wtedy policzone od złej podstawy.

Typ 6: procenty w zadaniach z treścią

Na egzaminie procenty rzadko występują samodzielnie. Zwykle są wplecione w zadanie wieloetapowe, często otwarte, warte 2 lub 3 punkty.

Przykład. Sklep kupił 150 par butów po 60 zł za parę. 60% z nich sprzedał z 40-procentową marżą, a resztę z marżą 20-procentową. Jaki był łączny przychód?

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Liczba par sprzedanych z marżą 40%: 60% ze 150 = 0,6 · 150 = 90 par.
2. Reszta: 150 − 90 = 60 par.
3. Cena przy marży 40%: 60 · 1,4 = 84 zł.
4. Cena przy marży 20%: 60 · 1,2 = 72 zł.
5. Przychód: 90 · 84 + 60 · 72 = 7560 + 4320 = 11 880 zł.

Zwróć uwagę, że w takim zadaniu punkty przyznaje się także za częściowe rozwiązanie. Gdybyś policzył poprawnie liczbę par i ceny, ale pomylił się w ostatnim mnożeniu, wciąż dostałbyś część punktów. Zasady punktowania zadań otwartych opisujemy w osobnym artykule o zadaniach otwartych.

Punkty procentowe kontra procenty

Rozróżnienie, o które potykają się nawet dorośli.

Jeśli poparcie partii wzrosło z 20% do 25%, to wzrosło o 5 punktów procentowych, ale o 25 procent (bo 5 to 25% z 20).

Na egzaminie ósmoklasisty pojęcie punktu procentowego pojawia się rzadko, ale w zadaniach z odczytem danych z diagramów bywa potrzebne. Jeśli w treści jest mowa o "punktach procentowych", chodzi o zwykłą różnicę wartości procentowych.

Ułamki, procenty i ułamki dziesiętne

Sprawne przechodzenie między tymi zapisami oszczędza mnóstwo czasu:

Ułamek zwykły	Ułamek dziesiętny	Procent
1/2	0,5	50%
1/4	0,25	25%
3/4	0,75	75%
1/5	0,2	20%
1/8	0,125	12,5%
1/3	0,333...	33,3%
1/10	0,1	10%

Warto znać tę tabelkę na pamięć. Skoro na egzaminie nie ma kalkulatora (poza wyjątkiem dotyczącym uczniów z opinią o dyskalkulii), zamiana 3/4 na 75% "w locie" realnie skraca czas rozwiązania.

Krótka lista kontrolna do zadań z procentów

Zanim zapiszesz odpowiedź, sprawdź:

• Od czego liczysz procent? Ustal wyraźnie, co jest 100% w tym zadaniu.
• Czy podstawa się nie zmieniła? Przy dwóch kolejnych zmianach druga liczy się od nowej wartości.
• Czy odpowiedź ma sens? Po obniżce cena musi być niższa, a po podwyżce wyższa.
• Czy jest jednostka? Złotówki, kilogramy, sztuki - brak jednostki potrafi kosztować punkt.

Sprawdź się w praktyce. Na ex8.pl rozwiązujesz zadania egzaminacyjne w formie gry, a po każdym z nich dostajesz rozwiązanie krok po kroku. Zagraj w darmowe demo albo zobacz pakiety.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć procent z liczby?

Zamień procent na ułamek dziesiętny i pomnóż. Na przykład 15% ze 120 to 0,15 · 120 = 18.

Jak obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga?

Podziel jedną liczbę przez drugą i pomnóż przez 100%. Uważaj na kolejność: w mianowniku ląduje ta wielkość, która stanowi całość.

Cena wzrosła o 10%, a potem spadła o 10%. Czy wróciła do punktu wyjścia?

Nie. Podwyżka liczona jest od ceny początkowej, a obniżka od ceny już podwyższonej. Przy cenie 800 zł wynik to 792 zł, a nie 800 zł.

Jak obliczyć cenę sprzed obniżki?

Potraktuj cenę po obniżce jako odpowiedni procent ceny wyjściowej. Jeśli po obniżce o 20% towar kosztuje 240 zł, to 240 zł stanowi 80%, więc cena wyjściowa to 240 : 0,8 = 300 zł.

Czym różni się punkt procentowy od procentu?

Wzrost z 20% do 25% to wzrost o 5 punktów procentowych, ale o 25 procent, bo 5 stanowi 25% z 20.

Czy na egzaminie przyda się kalkulator do procentów?

Nie ma go na egzaminie, poza wyjątkiem dla uczniów z opinią o dyskalkulii. Dlatego opłaca się znać na pamięć zamiany typu 1/4 = 25% czy 1/8 = 12,5%.