Procenty na egzaminie ósmoklasisty - typy zadań i sposoby ich rozwiązywania
Procenty to jeden z najpewniejszych tematów na egzaminie ósmoklasisty - pojawiają się praktycznie co roku, i to zarówno w zadaniach zamkniętych, jak i otwartych. Dobra wiadomość jest taka, że typów zadań jest zaledwie kilka i wszystkie da się sprowadzić do jednego schematu.
Trzy wzory, z których bierze się wszystko
Zanim przejdziemy do typów zadań, warto uporządkować podstawę. Praktycznie każde zadanie z procentów na egzaminie ósmoklasisty da się rozwiązać, korzystając z jednej z trzech zależności:
1. Obliczanie procentu z liczby
p% z a = (p / 100) · a
2. Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga
(a / b) · 100%
3. Obliczanie liczby na podstawie jej procentu
Jeśli p% liczby x wynosi a, to x = a · 100 / p
Pamiętaj, że karty wzorów na egzaminie nie ma - te trzy zależności musisz mieć w głowie. Piszemy o tym szerzej w tekście o tym, czy na egzaminie jest karta wzorów.
Typ 1: procent z liczby
Najprostszy wariant i najczęstszy w zadaniach zamkniętych.
Przykład. Bluza kosztuje 120 zł. Ile wynosi 15% jej ceny?
Rozwiązanie: 15% z 120 = 0,15 · 120 = 18 zł.
Zamiana procentu na ułamek dziesiętny (dzielenie przez 100) jest tu szybsza niż liczenie "1% to 1,2 zł, więc 15% to 15 razy 1,2 zł" - choć obie drogi są poprawne.
Typ 2: jakim procentem jest jedna liczba drugiej
Przykład. W klasie jest 25 uczniów, z czego 15 to dziewczynki. Jaki procent klasy stanowią dziewczynki?
Rozwiązanie: (15 / 25) · 100% = 0,6 · 100% = 60%.
Uwaga na kolejność. Pytanie brzmi "jakim procentem klasy", więc w mianowniku ląduje liczebność klasy, nie liczba dziewczynek. Odwrócenie ułamka to najczęstszy błąd w tym typie.
Typ 3: liczba na podstawie jej procentu
Ten wariant sprawia najwięcej trudności, bo trzeba iść "od tyłu".
Przykład. 30% pewnej liczby wynosi 42. Jaka to liczba?
Rozwiązanie: x = 42 · 100 / 30 = 4200 / 30 = 140.
Sprawdzenie: 30% ze 140 = 0,3 · 140 = 42. Zgadza się.
Sposób, który pomaga wielu uczniom: policz najpierw, ile wynosi 1%. Skoro 30% to 42, to 1% to 42 : 30 = 1,4. A 100% to 1,4 · 100 = 140.
Typ 4: podwyżki i obniżki
Tu zaczyna się część, w której traci się najwięcej punktów.
Podwyżka o p%: nowa wartość = a · (1 + p/100) Obniżka o p%: nowa wartość = a · (1 − p/100)
Przykład. Cena roweru wynosiła 800 zł. Najpierw wzrosła o 10%, a potem spadła o 10%. Ile kosztuje rower teraz?
Odruchowa odpowiedź brzmi "800 zł, bo wróciło do punktu wyjścia". Jest błędna.
- po podwyżce: 800 · 1,1 = 880 zł
- po obniżce: 880 · 0,9 = 792 zł
Dlaczego? Bo podwyżka liczona jest od 800 zł, a obniżka od 880 zł. Procent zawsze odnosi się do wartości bezpośrednio poprzedzającej, a ta się zmieniła. To jedna z ulubionych pułapek autorów arkuszy i pojawia się regularnie.
Ta sama zasada w drugą stronę: jeśli towar potaniał o 20%, to żeby wrócić do ceny wyjściowej, trzeba go podnieść o 25%, a nie o 20%.
Typ 5: obliczanie ceny przed obniżką
Przykład. Po obniżce o 20% kurtka kosztuje 240 zł. Ile kosztowała przed obniżką?
Kluczowa obserwacja: 240 zł to nie jest 100% ceny, tylko 80% (bo 20% zostało odjęte).
Rozwiązanie: x · 0,8 = 240, czyli x = 240 : 0,8 = 300 zł.
Sprawdzenie: 20% z 300 = 60, a 300 − 60 = 240. Zgadza się.
Najczęstszy błąd polega na dodaniu 20% do 240 zł, co daje 288 zł - liczbę, która nie ma związku z zadaniem, bo 20% zostało wtedy policzone od złej podstawy.
Typ 6: procenty w zadaniach z treścią
Na egzaminie procenty rzadko występują samodzielnie. Zwykle są wplecione w zadanie wieloetapowe, często otwarte, warte 2 lub 3 punkty.
Przykład. Sklep kupił 150 par butów po 60 zł za parę. 60% z nich sprzedał z 40-procentową marżą, a resztę z marżą 20-procentową. Jaki był łączny przychód?
Rozwiązanie krok po kroku:
- Liczba par sprzedanych z marżą 40%: 60% ze 150 = 0,6 · 150 = 90 par.
- Reszta: 150 − 90 = 60 par.
- Cena przy marży 40%: 60 · 1,4 = 84 zł.
- Cena przy marży 20%: 60 · 1,2 = 72 zł.
- Przychód: 90 · 84 + 60 · 72 = 7560 + 4320 = 11 880 zł.
Zwróć uwagę, że w takim zadaniu punkty przyznaje się także za częściowe rozwiązanie. Gdybyś policzył poprawnie liczbę par i ceny, ale pomylił się w ostatnim mnożeniu, wciąż dostałbyś część punktów. Zasady punktowania zadań otwartych opisujemy w osobnym artykule o zadaniach otwartych.
Punkty procentowe kontra procenty
Rozróżnienie, o które potykają się nawet dorośli.
Jeśli poparcie partii wzrosło z 20% do 25%, to wzrosło o 5 punktów procentowych, ale o 25 procent (bo 5 to 25% z 20).
Na egzaminie ósmoklasisty pojęcie punktu procentowego pojawia się rzadko, ale w zadaniach z odczytem danych z diagramów bywa potrzebne. Jeśli w treści jest mowa o "punktach procentowych", chodzi o zwykłą różnicę wartości procentowych.
Ułamki, procenty i ułamki dziesiętne
Sprawne przechodzenie między tymi zapisami oszczędza mnóstwo czasu:
| Ułamek zwykły | Ułamek dziesiętny | Procent |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50% |
| 1/4 | 0,25 | 25% |
| 3/4 | 0,75 | 75% |
| 1/5 | 0,2 | 20% |
| 1/8 | 0,125 | 12,5% |
| 1/3 | 0,333... | 33,3% |
| 1/10 | 0,1 | 10% |
Warto znać tę tabelkę na pamięć. Skoro na egzaminie nie ma kalkulatora (poza wyjątkiem dotyczącym uczniów z opinią o dyskalkulii), zamiana 3/4 na 75% "w locie" realnie skraca czas rozwiązania.
Krótka lista kontrolna do zadań z procentów
Zanim zapiszesz odpowiedź, sprawdź:
- Od czego liczysz procent? Ustal wyraźnie, co jest 100% w tym zadaniu.
- Czy podstawa się nie zmieniła? Przy dwóch kolejnych zmianach druga liczy się od nowej wartości.
- Czy odpowiedź ma sens? Po obniżce cena musi być niższa, a po podwyżce wyższa.
- Czy jest jednostka? Złotówki, kilogramy, sztuki - brak jednostki potrafi kosztować punkt.
Sprawdź się w praktyce. Na ex8.pl rozwiązujesz zadania egzaminacyjne w formie gry, a po każdym z nich dostajesz rozwiązanie krok po kroku. Zagraj w darmowe demo albo zobacz pakiety.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć procent z liczby?
Zamień procent na ułamek dziesiętny i pomnóż. Na przykład 15% ze 120 to 0,15 · 120 = 18.
Jak obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga?
Podziel jedną liczbę przez drugą i pomnóż przez 100%. Uważaj na kolejność: w mianowniku ląduje ta wielkość, która stanowi całość.
Cena wzrosła o 10%, a potem spadła o 10%. Czy wróciła do punktu wyjścia?
Nie. Podwyżka liczona jest od ceny początkowej, a obniżka od ceny już podwyższonej. Przy cenie 800 zł wynik to 792 zł, a nie 800 zł.
Jak obliczyć cenę sprzed obniżki?
Potraktuj cenę po obniżce jako odpowiedni procent ceny wyjściowej. Jeśli po obniżce o 20% towar kosztuje 240 zł, to 240 zł stanowi 80%, więc cena wyjściowa to 240 : 0,8 = 300 zł.
Czym różni się punkt procentowy od procentu?
Wzrost z 20% do 25% to wzrost o 5 punktów procentowych, ale o 25 procent, bo 5 stanowi 25% z 20.
Czy na egzaminie przyda się kalkulator do procentów?
Nie ma go na egzaminie, poza wyjątkiem dla uczniów z opinią o dyskalkulii. Dlatego opłaca się znać na pamięć zamiany typu 1/4 = 25% czy 1/8 = 12,5%.
